TD: Bounds and supremum/infimum of sets – Analysis 1

يستند هذا المستند إلى مراقبة مستمرة في مادة التحليل 1 للسنة الأولى ليسانس بقسم علم الحاسوب بجامعة الجزائر 1- بن يوسف بن خضدة. يتضمن المستند ثلاث تمارين تركز على مفاهيم المجموعات المحدودة، والحد الأعلى والأدنى، والقيمة المطلقة، والإثبات بالاستقراء. في التمرين الأول، يُطلب من الطالب إظهار أن المجموعات A، B، و C محدودة، ثم تحديد حدودها العليا والدنيا، وإيجاد الأقصى والأدنى إن وُجد، وأخيرًا حساب supremum و infimum لاتحاد A و B. يتناول التمرين الثاني إثبات المتباينة |x| = -y < 1 لجميع الأعداد الحقيقية x، y، مما يعزز فهم الخاصية المطلقة للقيمة. أما التمرين الثالث فيطلب إثبات بالتحريض الرياضي أن حاصل الضرب المتتالي k(k+1)...(k+m-1) يساوي n(n+1)...(n+m) مقسومًا على (m+1)، مما يرسخ تقنيات الاستقراء على التعبيرات العواملية. يهدف المستند إلى تعزيز القدرة على التعامل مع النظريات الأساسية للتحليل الحقيقي، وتطبيق البراهين الصارمة، وتطوير المهارات المنطقية المطلوبة في المواد الرياضية المتقدمة. من خلال حل هذه التمارين، يتدرب الطالب على استخراج الخصائص البنيوية للمجموعات، واستخدام تعريفات supremum و infimum بشكل صحيح، وتجنب الأخطاء الشائعة مثل الخلط بين الحد الأقصى والحد الأعلى. يشكل هذا التمرين أساسًا لفصول لاحقة حول المتسلسلات، والحدود، والاستمرارية، وبالتالي يساهم في بناء قاعدة صلبة لمتابعة دراسة التحليل الدال والقياس.