TD 2: Complex numbers and trigonometric forms – Analysis 1

يحتوي هذا المستند على مجموعة تمارينirected (TD) رقم 2 لمادة تحليل 1، المقدمة لطلاب السنة الأولى ليسانس في قسم علم الحاسوب بجامعة الجزائر 1. يركز الدرس على دراسة الأعداد المركبة وتحويلها بين الصور الجبرية، الأسية، والقطبية. تشمل التمارين كتابة أعداد مركبة على الصورة الجبرية ثم الأسية، تحديد عدد طبيعي n يجعل (√3 + i)^n حقيقياً أو تخيلياً، حساب خارج القسمة بين أعداد مركبة وتحديد جذرها، وتحويل التعبيرات مثل cos^7(x) و sin(5x) إلى صور خطية. كما يتناول المستند إثبات خصائص معينة للعدد المركب مثل شرط λ réel بالنسبة للتعبير |(1+iλ)/(1-iλ)|=1، وحساب جذور عدد مركب w=5+12i واستخدامها لحل معادلة تربيعية معقدة. أخيراً، يتناول المستند هندسة الأعداد المركبة في المستوى، حيث يُعرّف دالة L(z) ويُظهر أنها عدد حقيقي لكل z، ثم يُحدد مجموعة النقاط التي تحقق L(z)=0 كدائرة، ويجد مركزها على شكل أسي ويظهر أن w^{2016}=2^{4032}. كما يتضمن حل معادلات تربيعية وتكعيبية في المجال المركب وتحليل كثير حدود P(z) لإظهار أن 2i جذر له وتحديد جميع حلوله. تم تصميم التمارين لتعزيز الفهم النظري والقدرة على التعامل مع التحويلات والحسابات المركبة، مما يهيئ الطلاب لتطبيقات لاحقة في التحليل والفيزياء الرياضية.