TP : Résolution numérique des systèmes linéaires Ax = b – méthode numérique

هذا المستند يمثل عملًا عمليًا (TP) يهدف إلى تدريب طلاب السنة الثانية ليسانس في قسم المعلومات على حل الأنظمة الخطية على الشكل Ax=b باستخدام الطرق التكرارية العددية. يبدأ العرض بتذكير بشرط وجود حل فريد للمصفوفة A عندما يكون determinant غير صفر، ثم يعرض تفكيك المصفوفة A إلى مقطعين M و N بحيث A=M-N، ومن ثم تحويل النظام إلى شكل تكراري x_{k+1}=M^{-1}N x_k + M^{-1}b. يوضح النص طريقتين رئيسيتين: طريقة جاكوبي التي تختار M=D (القطر diagonal) و N=E+F (الجزء السفلي والعلوي)، وطريقة غاوس-سييدل التي تختار M=D-E و N=F. يتم إعطاء الخوارزميتين بشكل تفصيلي مع حلقات متكررة ومبادئ التهيئة x(0). كما يُناقش معيار التوقف المستند إلى المتبقي ‖Ax(k)-b‖≤ε، ويُظهر مثال عددي بسيط بمصفوفة 3x3 ومتجه b لتطبيق الطريقتين ومقارنة سرعتي التقارب. يختتم TP بتوجيه الطالب لكتابة دوال في سكيلاب تُنفذ كلتا الطريقتين وتعيد تقاربًا مقبولًا للخطأ المحدد. таким образом، يربط التمرين بين النظرية العددية والتطبيق العملي، ويعزز فهم شروط التقارب (الطيف الطيفي لـ M^{-1}N أقل من 1) ويطور مهارات البرمجة العددية.