Cours Chapitre 1: Généralités sur l’analyse numérique et le calcul scientifique

يقدم هذا الفصل مقدمة شاملة لمجال التحليل العددي والحساب العلمي، حيث يوضح motivations وراء استخدام الطرق العددية لحل المشكلات الرياضية التي لا يمكن حلها تحليليًا. يُعرّف الفصل مفهوم الخوارزمية كسلسلة من العمليات الأولية التي تنتهي بعد عدد محدود من الخطوات، ويشرح كيفية تنفيذها في لغة برمجة وقياس تعقيدها. ثم ينتقل إلى تمثيل الأعداد في الحاسوب، مميزًا بين الأعداد الصحيحة والأعداد العائمة، ويوضح صيغة التمثيل العائم مع مكونات العلامة، الأسس، والمُعَدَّد. بعد ذلك، يُناقش مصادر الأخطاء في النمذجة العددية: أخطاء النمذجة، أخطاء البيانات، وأخطاء التقريب، ويحدد الخطأ المطلق والخطأ النسبي مع أمثلة توضيحية. يُشرح مفهوم الأرقام المهمة والدقيقة، وقواعد التقريب إلى عدد معين من الأرقام المهمة، بما في ذلك حالة الرقم 5 وتطبيق قاعدة الزوج. يُقدّم قانون انتشار الخطأ العام لتقدير تأثير أخطاء المدخلات على المخرجات، مع تمييز بين المشكلة المباشرة والعكسية. أخيرًا، يُعرّف مفهوم-conditioning للمشكلة العددية واستقرار الخوارزمية، موضحًا الفرق بين المشكلة-well-conditioned وill-conditioned، وبين الخوارزمية المستقرة وغير المستقرة. يربط الفصل هذه المفاهيم بالتطبيقات في الفيزياء، الأحياء، الهندسة، الاقتصاد والمالية، ويؤكد على أهمية فهم هذه الأساسيات قبل الانتقال إلى طرق عددية محددة.