TP : Résolution numérique des systèmes linéaires Ax = b – Analyse numérique

يهدف هذا TP إلى تدريب الطلاب على حل الأنظمة الخطية Ax = b باستخدام الطرق العددية التكرارية، ولا سيما طريقة جاكوبي وطريقة غاوس-زايدل. بعد تقديم الشروط النظرية للوجود والوحدانية للحل (det(A) ≠ 0)، يُستعرض مبدأ تحويل النظام إلى الشكل الثابت x = M⁻¹Nx + M⁻¹b وشرط التقارب المرتبط بقيمة الطيف spectral radius لـ M⁻¹N being less than 1. ثم تُفصَّل خوارزمية جاكوبي حيث تُختار المصفوفة M = D (القطري) وN = E+F (الส่วน السفلي والعلوي)، وتُعطى الصيغة التكرارية x(k+1) = D⁻¹(E+F)x(k) + D⁻¹b، مع توضيح كيفية استخراج المصفوفات D, E, F من A. بعد ذلك، تُقدَّم طريقة غاوس-زايدل مع M = D−E وN = F، مما يؤدي إلى الصيغة x(k+1) = (D−E)⁻¹Fx(k) + (D−E)⁻¹b. يُرفق الشرح ببرامج MATLAB توضح تنفيذ كلا الخوارزميتين، بما في ذلك قراءة المصفوفة A والمتجه b، وحساب المصفوفات D, E, F، وشرط التوقف المعياري ‖Ax−b‖ < 10⁻³. يوضح TP أيضًا كيفية التحقق من التقارب وتفسير النتائج. في الختام، يُظهر الطالب كيف يختار الطريقة المناسبة حسب خصائص المصفوفة، ويكتسب مهارات تنفيذية ونظرية تُعدّه لمواد التحليل العددي اللاحقة وتطبيقات الهندسة والعلوم.