Final Exam: Algebra 1 – Computer Science MI.L1

يقدم هذا المستند حلول امتحان نهائي لمادة الجبر 1 لطلاب السنة الأولى شعبة علوم الحاسوب في كلية العلوم بجامعة الجزائر بن يوسف بن خدة للعام الجامعي 2024/2025. يبدأ الامتحان باختبار استبدال يتكون من ثلاثة أسئلة حول المجموعات الضرب الديكارتي، حيث يُطلب من الطالب إيجاد مجموعتي G = E × F و H = F × E، ومقارنتهما، وحساب القويّات للمجموعات ومجموعات القوى. يلي ذلك سؤال يثبت باستخدام جداول الحقيقة أن X ∩ Y ⊆ Y و X ⊆ Y ∪ X. ثم يُطلب إثبات صيغة مجموع المتسلسلة 1+4+7+...+(3n-2) = n(3n-1)/2 بالاستقراء الرياضي. في الجزء الرئيسي من الامتحان، يُطلب إثبات علاقة تضمين بين المجموعات باستخدام قوانين التوزيع والنتيجة السابقة، ثم دراسة الدالة f: Z → Z² المعرفة بـ f(x) = (x, x-2) من حيث حساب الصورة والعكس الصورة وتحديد ما إذا كانت الدالة حقّة، onto أوbijektive. أخيراً، يُطلب إثبات أن العلاقة R المعرفة على ℝ² بشرط (x² - a² = b² - y²) هي علاقة تكافؤ، وتحديد فئات التكافؤ للنقاط (0,0)، (1,1) والنقطة العامة (a,b) ووصفها هندسياً كدائر مركزة عند الأصل. يغطي المستند بالتالي مفاهيم أساسية في نظرية المجموعات، المنطق، الاستقراء، الدوال والعلاقات، وهو مفيد للمراجعة وفهم أساليب البرهان المستخدمة في مساقات الجبر والمنطق.