ملخص الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية – الاحتمالات والإحصاء

يقدم هذا الملخص شرحاً تفصيلياً للفصل الثاني من مادة الاحتمالات والإحصاء المتعلق بالمتغيرات العشوائية. يبدأ بتعريف المتغير العشوائي كدالة تُعيّن قيمة عددية لكل نتيجة لتجربة عشوائية، مع توضيح أن النتيجة غير معروفة مسبقاً والقيمة تعتمد على نتيجة التجربة. يفرق الملخص بين نوعين رئيسيين: المتغير العشوائي المنفصل الذي يأخذ مجموعة محدودة أو قابلة للعد من القيم (مثل عدد الناجحين في امتحان أو عدد الكريات المسحوبة من صندوق)، والمتغير العشوائي المتصل الذي يأخذ أي قيمة ضمن فترة مستمرة (مثل زمن المكالمة الهاتفية أو وزن عبوة حليب). بعد ذلك يُناقش الرياضي الأمل (التوقع) كمقياس لموقع التوزيع، ويُستعرض تعريفه للمتغير المنفصل كمجموع حاصل ضرب القيم في احتمالاتها، وللمتصل كتكامل القيمة مع دالة الكثافة. يُذكر أهم خصائص التوقع مثل الخطية، وإثبات أن توقع الثابت يساوي الثابت، وتوقع مجموع المتغيرين يساوي مجموع توقعاتهما، وتوقع ثابت مضروب في متغير يساوي الثابت مضروب في توقع المتغير. يلي ذلك شرح التباين كمقياس لتشتت القيم حول المتوسط، مع تعريفه كمتوسط مربع الانحراف عن المتوسط، واستعراض خصائصه مثل عدم تأثره بإضافة ثابت، وتأثير الضرب بثابت مربعاً، وقانون التباين لمجموع متغيرين مستقلين ومعتمدين، مع تعريف التغاير كمقياس للعلاقة الخطية بين متغيرين. يُعرض مفهوم العزوم البسيطة والمركزية كعموميات للحظات الإحصائية، مع صيغها وتوضيح أن العزم الأولي البسيط يساوي الرياضي الأمل، والعزم الثاني المركزي يساوي التباين. يُختتم الملخص بتمثيل التوزيع الاحتمالي من خلال دالة الكثافة الاحتمالية للمتصل ودالة الكتلة الاحتمالية للمنصف، ودالة التوزيع التراكمي، مع أمثلة توضيحية مثل توزيع ثنائي الحد لتعداد النجاحات، وتوزيع طبيعي للأخطاء القياسية، وتوزيع أسي لفترات الانتظار. يهدف الملخص إلى تمكين الطالب من فهم المفاهيم الأساسية، حساب التوقعات والتباينات والتغاير، وتطبيق الخصائص في حل المسائل 확률ية والاستعداد للامتحانات.