Chapitre 4: Méthodes itératives – Systèmes linéaires

يقدم هذا الفصل الرابع دراسة مفصلة للطرق iterative لحل الأنظمة الخطية على الشكل Ax = b. بعد تقديم الشكل العام للنظام وتوضيح ضرورة الطرق iterative عندما تكون المصفوفة كبيرة أو نادرة، يُفصل المبدأ العام حيث يتم تفكيك المصفوفة A إلى M - N مع اختيار M قابلة للعكس بسهولة، مما يؤدي إلى صيغة التكرار x(k+1) = Hx(k) + c. يُناقش معيار التقارب باستخدام النظرية التي تشترط أن يكون المعيار الحثي للمصفوفة H أقل من 1، أو أن يكون الطيف الطيفي p(H) < 1. ثم يُستعرض طريقتا جاكوبي وغاوس-سيديل كحالتين خاصتين من هذا الإطار العام: في جاكوبي تُؤخذ M = D (القطري) وN = E+F، بينما في غاوس-سيديل تُؤخذ M = D - E وN = F. تُقدَّم شروط التقارب لكل طريقة: التقارب إذا كان المصفوفة A قطريًا مهيمنًا بشكل صارم، أو إذا كانت A متماثلة معرفةpositive لغاوس-سيديل. يُرفق الشرح بحل مثال عددي لنظام 3x3 قطري مهيمن، حيث يُظهر حساب أول ثلاث تكرارات لكلتا الطريقتين بدءًا من المتجه الصفري، مع إظهار تقارب التقريبات نحو الحل الدقيق. يخلص الفصل إلى أن الطرق iterative توفر بديلًا فعالًا للطرق المباشرة عندما تكون المصفوفة كبيرة ومتفرقة، وأن فهم شروط التقارب ضروري لضمان الحصول على حلول موثوقة.