Chapitre 3 : Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires – Analyse Numérique

يقدم هذا الفصل الثالث من cours de mathématiques une étude détaillée des méthodes directes pour résoudre les systèmes linéaires d'équations. Après avoir rappelé la forme matricielle Ax = b et la condition d'inversibilité de la matrice A, le texte expose la règle de Cramer et montre son coût computationnel prohibitif pour les matrices de taille modeste. Ensuite, il introduit les systèmes triangulaires supérieurs et inférieurs, en détaillant leurs conditions de résolution unique et les formules de substitution arrière et avant. La méthode d'élimination de Gauss est présentée étape par étape, avec des exemples illustratifs montrant comment transformer une matrice générale en forme triangulaire supérieure puis résoudre par substitution arrière. La méthode de Crout, basée sur la décomposition LU, est expliquée en montrant comment factoriser A = LU où L est triangulaire inférieure et U triangulaire supérieure avec un diagonal unitaire, puis résoudre successivement Ly = b et Ux = y. Le chapitre souligne l'importance des mineurs principaux non nuls pour l'applicabilité de la décomposition LU et fournit des algorithmes détaillés pour chaque méthode. Enfin, il compare les avantages et les limites des approches directes par rapport aux méthodes itératives qui seront étudiées dans le chapitre suivant. Ce contenu prépare l'étudiant à maîtriser les outils numériques essentiels pour l'analyse numérique et les applications en ingénierie.