امتحان: نظرية المجموعات والتطبيقات – جبر 1

هذا الامتحان النهائي لمادة جبر 1 موجه لطلاب السنة الأولى ليسانس بقسم الحاسوب في جامعة الجزائر 1، وقد عقد في يناير 2025 لمدة 90 دقيقة. يتضمن الامتحان أربع مشاكل تغطي المفاهيم الأساسية للجبر المجرد والنظرية المجموعات. المشكلة الأولى تطلب حساب cardinality للمجموعات H، K، L ومجموعات القوى الخاصة بها، مما يعزز فهم الطلاب للمجموعات الفرعية ومجموعات القوى. المشكلة الثانية تتناول تطبيق f من N² إلى N المعرف بـ f(n,m)=nm، حيث يُطلب حساب الصورة والعكس الصورة لمجموعات محددة A، B، C، وتحديد ما إذا كان التطبيق حقنًا، onto، أوbijektion مع التبرير. المشكلة الثالثة تناقش علاقة تكافؤ R على R*² المعرفة بـ (a,b)R(c,d) إذا وفقط إذا c²b = a²d؛ يجب على الطلاب إظهار أن R هي علاقة تكافؤ، تحديد فئة التكافؤ للعنصر (4,2) ووصفها هندسيًا، تعميم النتيجة لأي (a,b)، وتحديد مجموعة جميع فئات التكافؤ. المشكلة الرابعة تبحث في المجموعة H = {2^n | n∈Z} كزُبْعَة من Q* تحت الضرب، وإثبات أنها subgroup، ثم دراسة التطبيق φ: Z→Q* المعرف بـ φ(n)=2^n، وإثبات أنه homomorphism للعثور على nucleaus والصورة، وتحديد ما إذا كان isomorphism. يهدف الامتحان إلى تقييم القدرة على الاستدلال المنطقي، تقديم البراهين الواضحة، واستخدام الرموز الرياضية بدقة، مع التركيز على العرض المنظم والجمل الكاملة.