TD 1: دراسة الزيادة والنقصان والتقارب للعدديات – التحليل 1

يقدّم هذا المستند حلّ TD الأول لمادة التحليل 1 للسنة الأولى ليسانس بقسم المعلوماتية بجامعة الجزائر 1 للعام الأكاديمي 2024/2025. يركز المستند على دراسة خاصيتي الزيادة والنقصان (المونوتونية) والتقارب للسلاسل العددية المعرّفة بصيغ صريحة أو بالتكرار. في الجزء الأول، يُحلّل خمس سلاسل (Tn, Un, Wn, Xn, Zn) عبر مقارنة الحدود المتتالية أو حساب الفارق Un+1-Un لتحديد اتجاه التغيّر وإثبات ما إذا كانت السلسلةstrictly increasing أو strictly decreasing. في الجزء الثاني، يُدرس تقارب سلسلتين: Un = (n^2)^(1/n^2) و Vn = n·e^{-3n}. يُستعمل تحويل الأسّي واللوغاريتمي لتحويل الشكل غير المحدد ∞^0 إلى شكل قابل للحساب، ثم تُطبّق قاعدة لوبيتال لحساب الحد وإظهار أن Un يميل إلى 1 وأن Vn يميل إلى 0. يوضح المستند الاستراتيجيات الشائعة لتحليل السلاسل: فحص знак الفرق، استخدام المتباينات، وتطبيق القواعد التفاضلية للحدود. يرتبط المحتوى مباشرةً بأهداف مادة التحليل 1 حيث يُعدّ الطالب للتعامل مع المتتاليات والسلاسل في السياقات النظرية والتطبيقية. من خلال حلّ هذه التمارين، يكتسب المتدرب مهارات ضرورية للامتحانات والبحث اللاحق، مثل تحديد حدود السلاسل المعقّدة ومعرفة متى تكون السلسلة متقاربة أو متباعدة. يختتم المستند بتأكيد أن إتقان هذه الأدوات يُمكّن الطالب من الانتقال بثقة إلى مواضيع أكثر تقدماً مثل السلاسل اللانهائية واختبارات التقارب.