TD 3: الوظائف – الجبر 1

يتناول هذا المستند تمارين TD رقم 3 للوحدة الجبر 1 للسنة الأولى ليسانس بكلية العلوم بجامعة الجزائر 1، ويركز على دراسة مفهوم الوظائف (المappings) من حيث التعريف والخصائص الأساسية. يبدأ التمرين الأول بتوضيح تعريف الدالة من خلال مثال على مجموعة B={0,1} ومجموعتها cartesian B×B، ثم يسأل عن حقنية وعكسية الدالة f(x,y)=x·y. يتناول التمرين الثاني دراسة الدوال المعرّفة على مجموعة الأعداد الحقيقية R وتحديد ما إذا كانتBijективية وإيجاد عكسها ورسم بيانيها. يتناول التمرين الثالث تصنيف مجموعة من الدوال المعرّفة على مجموعات مختلفة (الأعداد الصحيحة، الأعداد الحقيقية، الأعداد المركبة) وتحديد ما إذا كانت حقنية، عكسية، أوBijективية. يتناول التمرين الرابع دراسة دوال المؤشر (الدالة característica) لمجموعة فرعية وإثبات خصائصها الجبرية مثل توزيع التقاطع والاتحاد والتكميل. يتناول التمرين الخامس كتابة النفي الكمي لمقترح أن دالة ما هيBijективية. يتناول التمرين السادس دراسة خاصية تركيب الدوال وتأثير الحقنية والعكسي على التركيب. يتناول التمرين السابع برهان عدم وجود surjection من مجموعة إلى مجموعة قوتها باستخدام مبدأ التناقض ومجموعة K={x∈E | x∉f(x)}. يتناول التمرين الثامن حساب تركيب الدوال وعكسها لدوال بسيطة مثل f(x)=3x+1 وg(x)=x²−1. يتناول التمرين التاسع إثبات صيغة التكرار للدالة f(x)=4x+3 بالاستقراء وتوسيعها للأعداد السالبة. يتناول العاشر حساب الصورة والعكس الصورة لدالة التربيع والدالة الجيب على فترات محددة. أخيراً، يتناول الحادي عشر إثبات خصائص الحقنية والعكسي فيما يتعلق بالصورة والعكس الصورة لل교집합 والاتحاد. يهدف المستند إلى تعزيز فهم الطالب للخصائص الأساسية للوظائف وتطبيقها في البراهين والحسابات، مما يعدّ أساساً لمواد الرياضيات المتقدمة مثل التحليل والجبر المجرد.